Apollonius diagram (or the Additively weighted Voronoi diagram) 其距离函数定义为点到球表面的最短距离（可以是负值，若点在球内）：

delaunay三角剖分 是一种根据点集获得满足一定良好性质的三角剖分方式，等价于 上举映射(lifting map) 后，其 下凸壳（Lower Convex Hull） 在原平面的投影。如果点集中不存在四点共圆的情况（退化情况），Delaunay 三角剖分是唯一的。

抽象单纯形 $\sigma \subset V$ ，是有限点集，其维度定义为 $\mathrm{dim}\,\sigma =|\sigma |-1$ 。（这里的 $|\cdot|$ 和下面的不表示同一个意思）

几何单纯形 $|\sigma|$ 是抽象单纯形的实现，是仿射无关的一组顶点的凸包：

凸包定义为：

单纯性复形 $K$ 为抽象单纯形的集合，要求 $\forall\sigma\in K,\forall \tau\subset\sigma \implies \tau\in K$ ，比如

$\{$ $\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$ $\}$ 。

单纯形复形的实现 $|K|$ ，就是把 $K$ 中的单纯形实现了。

给定点集 $P\subset \mathbb{R}^d$ ,

Delaunay complex $D(P)$ ，是指按Delaunay三角剖分得到的实现对应的抽象单纯形集合。

Alpha complex $A_\alpha(P)$ ，是由α-空球条件选出的 $D(P)$ 的子复形，带有自然的几何实现 Alpha Shape $S_\alpha(P) = |A_\alpha(P)|$ 。

$\mathbb{R}^d\backslash|A_\alpha|$ 分成： 一个 无界连通分支 → 外部；若干 有界连通分支 → 内部空腔（voids）。在一点紧致化下无限连通分支连通到 $\infty$ 点。在同胚意义下， $D(P\cup\{\infty\})\backslash A_\alpha(P) \cong (外部)\cup(所有空腔)$ （因此在工程实现中，可以在包围盒上取一点作为无穷远点）。

Alpha shape $S_\alpha(P)$ 同胚于球并集 $U_\alpha =\bigcup_i B(p_i, \alpha)$

半径不同的球 → Weighted Alpha Complex / Power Diagram。构造方式：空球条件改为加权空球条件，Delaunay → Power complex

三球交点实际上是在求幂轴在任意球上的交点，幂轴用一个不定方程组 $Ax=b$ 表示(球方程两两相减)，而幂点是该轴上距离球心最近的点，因此以某一球心为参考点 $O$ ，用拉格朗日乘子法（ $\mathcal{L}=|OX|^2+\lambda^T(Ax-b)$ ）得到以下方程，求解就可以直接得到幂点 $x$ ，知道幂点求交点就显然了：