Alpha Shape 与复形

抽象单纯形 $\sigma \subset V$ ，是有限点集，其维度定义为 $\mathrm{dim}\,\sigma =|\sigma |-1$ 。（这里的 $|\cdot|$ 和下面的不表示同一个意思）

几何单纯形 $|\sigma|$ 是抽象单纯形的实现，是仿射无关的一组顶点的凸包：

$$|\sigma|:=\mathrm{conv}\{x_v:v\in\sigma\}\subset \mathbb{R}^d$$

凸包定义为：

$$\mathrm{conv}\{x_i\}_{i=1}^n:=\{\Sigma_i\lambda_ix_i|\lambda_i\ge0,\Sigma_i\lambda_i=1\}$$

单纯性复形 $K$ 为抽象单纯形的集合，要求 $\forall\sigma\in K,\forall \tau\subset\sigma \implies \tau\in K$ ，比如

$\{$ $\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$ $\}$ 。

单纯形复形的实现 $|K|$ ，就是把 $K$ 中的单纯形实现了。

给定点集 $P\subset \mathbb{R}^d$ ,

Delaunay complex $D(P)$ ，是指按Delaunay三角剖分得到的实现对应的抽象单纯形集合。

Alpha complex $A_\alpha(P)$ ，是由α-空球条件选出的 $D(P)$ 的子复形，带有自然的几何实现 Alpha Shape $S_\alpha(P) = |A_\alpha(P)|$ 。

$\mathbb{R}^d\backslash|A_\alpha|$ 分成： 一个 无界连通分支 → 外部；若干 有界连通分支 → 内部空腔（voids）。在一点紧致化下无限连通分支连通到 $\infty$ 点。在同胚意义下， $D(P\cup\{\infty\})\backslash A_\alpha(P) \cong (外部)\cup(所有空腔)$ （因此在工程实现中，可以在包围盒上取一点作为无穷远点）。

Alpha shape $S_\alpha(P)$ 同胚于球并集 $U_\alpha =\bigcup_i B(p_i, \alpha)$

半径不同的球 → Weighted Alpha Complex / Power Diagram。构造方式：空球条件改为加权空球条件，Delaunay → Power complex