三球交点的简单求法

三球交点实际上是在求幂轴在任意球上的交点，幂轴用一个不定方程组 $Ax=b$ 表示(球方程两两相减)，而幂点是该轴上距离球心最近的点，因此以某一球心为参考点 $O$ ，用拉格朗日乘子法（ $\mathcal{L}=|OX|^2+\lambda^T(Ax-b)$ ）得到以下方程，求解就可以直接得到幂点 $x$ ，知道幂点求交点就显然了：

$$\begin{aligned} x&=A^T(AA^T)^{-1}b \\ \text{其中，}A&=\begin{bmatrix} \overrightarrow{OO_2} \\ \overrightarrow{OO_3} \end{bmatrix} ,\\ b&=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} R_1^2-R_2^2+|OO_2|^2 \\ R_1^2-R_3^2+|OO_3|^2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$