1. 概述

生成模型：

• 对象建模为向量 $x∈\mathbb{R}^d$
• 生成即采样 $p_{\mathrm{data}}(x)$
• 数据集 $z_1,z_2,...,z_n~\sim~p_{\mathrm{data}}$
• 条件生成 $p_{\mathrm{data}}(\cdot|y)$

目标：
从易于采样的 $p_{\mathrm{init}}$ (通常 $\sim \mathcal{N}(0,I_d)$ )出发，通过模型转化为 $p_{\mathrm{data}}$ 。

总结了布朗运动的三种描述视角及其内在联系：

• 物理视角：通过朗之万方程描述受力与涨落，利用涨落耗散定理连接微观动力学与热力学平衡。
• 数学视角：随机微分方程 (SDE) 理论，利用伊藤引理处理维纳过程的不可微性。
• 统计视角：从拉格朗日观点的粒子运动推导出欧拉观点的概率演化，即福克-普朗克方程 (FPE)。