S矩阵（单层势矩阵，Single Layer Potential Matrix）的正定性证明

$S$ 矩阵本质上是库伦相互作用算子的离散化，其中

$$[s_{ij}] = \frac{1}{r_{ij}}$$

$S$ 矩阵的正定性等价于“静电系统的能量必须为正”这一物理事实。

可以从物理直觉和数学推导两个层面来证明。

1. 物理证明

对于一组离散电荷 $\boldsymbol{q}=[q_1,q_2,...q_N]^T$ ，总的静电能 $U$ 可以写成以下二次型：

$$U=\frac{1}{2}\Sigma_i\Sigma_jq_is_{ij}q_j=\frac{1}{2}\boldsymbol{q}^T\mathbf{S}\boldsymbol{q}$$

同时我们知道静电场的能量可以写作全空间电场强度 $\boldsymbol{E}$ 的积分：

$$U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{\mathbb{R}^3}|\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r})|^2 \,\mathop{}\!\mathrm{d}V \ge 0$$

而且只要 $\boldsymbol{q}$ 不全为0，总能量 $U\ne0$ 。

故 $\mathbf{S}$ 正定

2.数学证明

单层势算子的二次型形式（连续形式）为：

$$\begin{aligned} I[\sigma] &= \int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\sigma(x) \sigma(y)}{|x - y|} \,\mathop{}\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &= \int_{\mathbb{R}^3}\sigma(x)\left(\sigma*\frac{1}{|\cdot|}\right)(x) \,\mathop{}\!\mathrm{d}x \end{aligned}$$

其中 $\sigma$ 是电荷密度。

因为傅里叶变换是酉算符，所以有 帕塞瓦尔定理 (Parseval’s Theorem) ：实空间函数的内积等于其傅里叶变换在频域的内积。

$$\int f(x) g(x) dx = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \hat{f}(k) \overline{\hat{g}(k)} dk$$

这里 $f(x) = \sigma(x)$ ， $g(x) = \sigma * \frac{1}{|x|}$ 。因为 $1/|x|$ 的傅里叶变换是 $4\pi / |k|^2$ ，故

$$\begin{aligned} I[\sigma] &= \int_{\mathbb{R}^3}\sigma(x)\left(\sigma*\frac{1}{|\cdot|}\right)(x) \,\mathop{}\!\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{(2\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3}\hat{\sigma}(k)\overline{\left(\hat{\sigma}(k)\frac{4\pi}{|k|^2}\right)} \,\mathop{}\!\mathrm{d}k \\ &=\frac{2}{(2\pi)^2}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{|\hat{\sigma}(k)|^2}{|k|^2} \,\mathop{}\!\mathrm{d}k \\ &\ge 0 \end{aligned}$$

Galerkin 离散化时，生成的矩阵 $S$ 继承了这一性质，因此 $S$ 是正定矩阵。