布朗运动(Brownian motion)、随机微分方程(SDE)与扩散方程

总结了布朗运动的三种描述视角及其内在联系：

• 物理视角：通过朗之万方程描述受力与涨落，利用涨落耗散定理连接微观动力学与热力学平衡。
• 数学视角：随机微分方程 (SDE) 理论，利用伊藤引理处理维纳过程的不可微性。
• 统计视角：从拉格朗日观点的粒子运动推导出欧拉观点的概率演化，即福克-普朗克方程 (FPE)。

1. 朗之万（Langevin）方程

如何描述布朗运动？朗之万给出了一个从牛顿力学出发的视角（对应于爱因斯坦从微观随机游走的统计和宏观渗透压的联立），给出了一个介观尺度的方程，粒子受到的力分为耗散项加上涨落项：

$$m\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}=\underbrace{-\gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}_{\text{耗散项}} + \underbrace{\xi(t)}_{\text{涨落项}}$$

其中 $\xi(t)$ 是白噪声，满足

$$\begin{aligned} \text{均值~} \mathbb{E}[\xi(t)] && \langle\xi(t) \rangle &= 0 \\ \text{自相关函数~} \mathbb{R}_\xi(t_1,t_2) && \langle\xi(t_1)\xi(t_2)\rangle&= 2 \gamma k_B T\delta(t_1-t_2) \end{aligned}$$

2. 涨落耗散定理(Fluctuation-Dissipation Theorem, FDT)

系统损失能量的速率（耗散）必须精确等于系统从环境中获得能量的速率（涨落）。

假设系统没有涨落项，则系统很快趋于静止，变为绝对零度；假设系统没有耗散项，方程两边积分可得 $\langle v(t)\rangle=v(0)$ ，方程两边平方后求积分：

$$\begin{aligned} \left( v(t)\right)^2&= \left(v(0)+\frac{1}{m}\int_0^t\xi(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\right)^2 \\ \implies\left( v(t)\right)^2&= \left( v(0)\right)^2 + \frac{2v(0)}{m}\int_0^t\xi(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t+\left(\frac{1}{m}\int_0^t\xi(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t\right)^2 \\ \implies\langle \left( v(t)\right)^2\rangle &= \left( v(0)\right)^2 + \frac{1}{m^2}\int_0^t\int_0^t \langle\xi(t_1)\xi(t_2)\rangle\,\mathop{}\!\mathrm{d}t_1 \mathop{}\!\mathrm{d}t_2 \\ \implies\langle \left( v(t)\right)^2\rangle &= \left( v(0)\right)^2 + \frac{2 \gamma k_B Tt}{m^2} ~~\text{(这里假装γ不是耗散系数)} \end{aligned}$$

也就是说粒子动能的期望会随着时间的增加而增加，最终艺术就是爆炸。

所以一个有涨落的系统必定伴随有耗散。他们其实是同一个东西的一体两面。想象一堆人挤着你，你会时不时获得一个随机的速度，当你想向前时就会受到正相关于速度的阻力。用类似推导理想气体压力的方式，可以推导出阻力和速度成正比。

具体的定量关系如何推导呢？即，知道 $\langle\xi(t_1)\xi(t_2)\rangle= 2 D\delta(t_1-t_2)$ 怎么知道 $D$ 和 $\gamma$ 的关系呢？首先求解(积分因子法)朗之万方程，得到

$$v(t) = v(0)e^{-\gamma t/m} + \frac{1}{m}\int_0^te^{-\gamma (t-s)/m}\xi(s) \,\mathop{}\!\mathrm{d}s$$

取二阶矩

$$\begin{aligned} \langle \left( v(t)\right)^2\rangle &= \left( v(0)\right)^2e^{-2\gamma t/m} + \frac{1}{m^2}\int_0^t\int_0^t e^{-\gamma (2t-t_1-t_2)/m}\langle\xi(t_1)\xi(t_2)\rangle\,\mathop{}\!\mathrm{d}t_1 \mathop{}\!\mathrm{d}t_2 \\ \implies \langle \left( v(t)\right)^2\rangle &= \left( v(0)\right)^2e^{-2\gamma t/m} + \frac{2 D}{m^2}\int_0^t e^{-2\gamma (t-t_2)/m}\,\mathop{}\!\mathrm{d}t_2 \\ \implies \langle \left( v(t)\right)^2\rangle &= \left( v(0)\right)^2e^{-2\gamma t/m} + \frac{2 D}{m^2}\cdot \frac{m}{2\gamma}\left( 1 - e^{-2\gamma t/m}\right) \end{aligned}$$

取 $t→∞$ ，在热平衡下，速度应该满足麦克斯韦-玻尔兹曼分布，即：

$$\langle v_\infty^2 \rangle = \frac{k_\text{B}T}{m}$$

故

$$\langle v_\infty^2 \rangle = \frac{k_\text{B}T}{m} = \frac{2 D}{m^2}\cdot \frac{m}{2\gamma} \\ \implies D = \gamma k_B T$$

3. 随机微分方程

3.1. 维纳过程(Wiener process)

由于白噪声 $\xi(t)$ 不存在普通函数意义，微分方程没有经典解，想要描述布朗运动需要引入维纳过程。Wiener 过程是数学上严格定义的标准布朗运动。

维纳过程 $W(t)$ 是一个连续时间随机过程，满足以下条件：

• 初始值： $W(0)=0$
• 独立增量：

$$\forall~ 0\le t_0<t_1<...<t_n,\\ W(t_1​)−W(t_0​),W(t_2​)−W(t_1​),…,W(t_n​)−W(t_{n−1}​) ~\text{相互独立}$$

• 增量服从正态分布： $W(t)-W(s)\sim\mathcal{N}(0,t-s),t>s$
• 连续样本路径：几乎处处 $t\mapsto W(t)$ 是连续函数。

因此具有以下性质：

• 均值与方差： $\mathbb{E}[W(t)]=0,\mathrm{Var}[W(t)]=t$
• 协方差： $\mathrm{Cov}[W(t),W(s)]=\mathrm{min}(t,s)$
• 马尔可夫性：未来增量只依赖当前值，不依赖过去路径。
• 自相似性： $W(ct) \stackrel{d}{=} \sqrt{c}W(t)$ （同分布意义下）
• 连续但不可微：几乎所有样本路径在任何点都不可微。

3.2. 二次变差 (Quadratic Variation)

接下来需要求得 $\mathrm{d}W(t)$ 与 $\mathrm{d}t$ 之间的关系，在概率意义下（均方收敛） $(dW_t)^2 = dt$ ，思路是 $W(\mathrm{d}t)\sim\mathcal{N}(0,\mathrm{d}t)\Rightarrow\mathbb{E}[\mathrm{d}W(t)^2]=\mathrm{d}t$ ，如下。

假设我们有一个时间区间 $[0, t]$ ，我们把它切成 $n$ 个极小的片段（类似于黎曼积分的切分）： $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = t$ 每个小区间长度为 $\Delta t = \frac{t}{n}$ 。

我们定义的二次变差 $[X, X]_t$ 是路径增量平方的和：

$$Q_n = \sum_{i=0}^{n-1} (X_{t_{i+1}} - X_{t_i})^2$$

对普通光滑函数（黎曼积分），根据中值定理， $\Delta X_i \approx X'(t_i) \Delta t$ 。那么当 $n \to \infty$ （即 $\Delta t \to 0$ ）时，这个和显然趋向于 0。

对于布朗运动 $W_t$ ， $\Delta W_i \sim N(0, \Delta t)$ 。这意味着：

$$E[\Delta W_i] = 0 \\ E[(\Delta W_i)^2] = \Delta t \\ Var[(\Delta W_i)^2] = E[(\Delta W_i)^4] - (E[(\Delta W_i)^2])^2 = 3(\Delta t)^2 - (\Delta t)^2 = 2(\Delta t)^2$$

故

$$E[Q_n] = \sum_{i=0}^{n-1} E[(\Delta W_i)^2] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta t = n \cdot \frac{t}{n} = t$$

不管切得多细，所有增量平方的和的期望值恒等于总时间 $t$ 。

$$Var[Q_n] = \sum_{i=0}^{n-1} Var[(\Delta W_i)^2]= \sum_{i=0}^{n-1} 2(\Delta t)^2 = n \cdot 2(\frac{t}{n})^2 = \frac{2t^2}{n}$$

取极限 ( $L^2$ 收敛)当分割数 $n \to \infty$ 时：

$$Var[Q_n] = \frac{2t^2}{\infty} \to 0$$

结论：虽然 $Q_n$ 是一个随机变量，但随着切分越来越细，它的方差趋于 0，而均值稳定在 $t$ 。这意味着，在概率意义下（均方收敛）：

$$\lim_{n \to \infty} \sum (\Delta W_i)^2 = t$$

3.3. 伊藤引理 (Itô’s Lemma)

证明了 $(dW)^2 = dt$ ，就可以推导 SDE 的链式法则了。假设有一个随机过程 $X_t$ ，满足 SDE：

$$dX_t = \mu dt + \sigma dW_t$$

我们要看它的函数 $f(X_t)$ 是怎么演化的。

1. 泰勒展开

   我们将 $f(X_t + dX_t)$ 在 $X_t$ 处展开：

$$df = f'(X_t)dX_t + \frac{1}{2}f''(X_t)(dX_t)^2 + \frac{1}{6}f'''(X_t)(dX_t)^3 + \dots$$

2. 代入 dX_t 并扔掉高阶项

   把 $dX_t = \mu dt + \sigma dW$ 代入 $(dX_t)^2$ 这一项：

$$\begin{aligned} (dX_t)^2 &= (\mu dt + \sigma dW_t)^2 \\ &= \mu^2 (dt)^2 + 2\mu\sigma (dt)(dW_t) + \sigma^2 (dW_t)^2 \\ &= \sigma^2 dt \end{aligned}$$

3. 得到伊藤公式把这个结果放回泰勒展开式，忽略更高阶项：$$df(X_t) = f'(X_t)dX_t + \frac{1}{2}f''(X_t)(\sigma^2 dt)$$整理一下，把 $dX_t$ 展开，按 $dt$ 和 $dW_t$ 分组，最终得到：

$$\boxed{df(X_t) = \left( \mu f'(X_t) + \frac{1}{2}\sigma^2 f''(X_t) \right) dt + \sigma f'(X_t) dW_t}$$

解释：

• 路径是分形的： $(dW_t)^2 = dt$ 说明布朗运动的路径有着“无限的长度，但有限的二次变分”。如果你去量布朗运动曲线的长度，你会发现它是无穷大。它在任何微小的尺度上都在剧烈震荡。
• 凸性带来漂移 (Jensen 不等式)：伊藤修正项 $\frac{1}{2}\sigma^2 f''(X_t)$ 本质上反映了函数的凸性 (Convexity)。

3.4. 伊藤积分 (Itô Calculus) vs 斯特拉托诺维奇积分 (Stratonovich Calculus)

在物理模型中一般认为不存在真正的白噪声，现实中的噪声都有一个极短的（非零的）相关时间 $\tau$ （Colored Noise）。如果我们先把噪声当成光滑的（有相关性的），取区间的中点用普通微积分算，然后让 $\tau \to 0$ 取极限，得到的结果就是 Stratonovich 形式。3.3用泰勒展开的推导隐藏了取左端点的前提，直接得到了伊藤积分。这里就展开不细说了。

伊藤积分 (Itô Calculus)

• 取点规则： 取区间的左端点（过去的值）。
• 特点： 具有非预见性 (Non-anticipating)。这一刻的决策只依赖于过去的信息，不知道未来。
• 优点： 数学性质极好，计算期望值方便（鞅性质）。
• 领域： 金融学的首选（买股票不能看明天的价格）。

斯特拉托诺维奇积分 (Stratonovich Calculus)

• 取点规则： 取区间的中点。
• 特点： 它看起来依然保留了传统微积分的链式法则（没有那个奇怪的伊藤修正项）。
• 优点： 在物理上更“真实”。
• 领域： 物理学的首选。

两种噪声类型：

• 情况一：加性噪声 (Additive Noise)

  方程形式：

  $$dX_t = -\gamma X_t dt + \underbrace{\sigma}_{\text{常数}} dW_t$$

  这里的噪声系数 $\sigma$ 是一个常数（或者只与时间 $t$ 有关，与 $X$ 无关）。根据转换公式，漂移修正项是 $\frac{1}{2}\sigma' \sigma = 0$ 。结论： 对于加性噪声，Itô 和 Stratonovich 是一样的。爱因斯坦和郎之万当年不用纠结这个问题，就是因为他们处理的主要是这种情况。

• 情况二：乘性噪声 (Multiplicative Noise)

  这是复杂系统（如湍流、种群动力学、金融、活性物质）中常见的情况。方程形式：

  $$dX_t = f(X_t) dt + \underbrace{g(X_t)}_{\text{依赖位置}} dW_t$$

  这里的噪声强度取决于系统的状态 $X_t$ 。比如：如果你在一个充满障碍物的环境里游泳，你在空旷处受到的扰动大，在狭窄处受到的扰动小。你的 $g(X)$ 是变化的。此时 $g'(X) \neq 0$ 。修正项 $\frac{1}{2}g'(X)g(X) \neq 0$ 。这时候，两者的物理预测会不同。

3.5. 分布(Distributions)意义

白噪声 $\xi(t)$ 严格来说不是普通函数，所以 $\mathrm{d}W/\mathrm{d}t$ 在常规意义下不存在。但是可以将 $\xi(t)$ 定义为一种作用在测试函数上的线性泛函：

$$\int_0^T\phi(t)\xi(t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}t := \int_0^T\phi(t)\,\mathop{} \!\mathrm{d}W_t$$

这里 $\phi(t)$ 是任意“测试函数”（平滑可积函数）。

从这个角度重写 SDE之前的微分形式：

$$dX_t = \mu(X_t) dt + \sigma(X_t) dW_t$$

现在两边同时除以 $dt$ （在广义函数意义下）：

$$\frac{dX_t}{dt} = \mu(X_t) + \sigma(X_t) \cdot \xi(t)$$

这就是郎之万最开始写下的方程。（还得是这样看着舒服）

但是分布乘积在数学上是定义不良 (Ill-defined) 的。Itô 和 Stratonovich 其实就是对 “如何定义这个乘积” 给出的两种不同规则。

4. 扩散方程

现在从介观回到宏观尺度。可以由SDE推出福克-普朗克方程 (Fokker-Planck Equation, FPE)。

核心映射关系

• SDE (微观/拉格朗日视角)： 描述一个粒子怎么走。

  $$dX_t = \mu(X_t) dt + \sigma(X_t) dW_t$$

• FPE (宏观/分布/欧拉视角)：
  描述这群粒子在 $t$ 时刻出现在位置 $x$ 的概率密度 $p(x,t)$ 怎么变。

$$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \underbrace{-\frac{\partial}{\partial x}[\mu(x)p(x,t)]}_{\text{漂移/对流项}} + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[\sigma^2(x)p(x,t)]}_{\text{扩散项}}$$

4.1. 福克-普朗克方程 (Fokker-Planck Equation, FPE)

推导如下：

任取一个紧支集的 $f(X_t)$ ，根据伊藤引理：

$$df(X_t) = \left( \mu(X_t) f'(X_t) + \frac{1}{2}\sigma(X_t)^2 f''(X_t) \right) dt + \sigma(X_t) f'(X_t) dW_t \\ （更一般的情况可以写为\mu(X_t,t)和\sigma(X_t,t)）$$

求期望：

$$\mathrm{d}\mathbb{E}[f(X_t)]=\mathbb{E}[\mu(X_t) f'(X_t) + \frac{1}{2}\sigma(X_t)^2 f''(X_t)]\mathrm{d}t+\mathbb{E}[\sigma(X_t) f'(X_t) dW_t]$$

其中，随机项的期望为0，因为根据塔式性质 (Tower Property)：

$$\begin{aligned} \mathbb{E}[f(X_t) \Delta W_t]&=\mathbb{E}\left[\,\mathbb{E}[f(t_i)\cdot(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})\mid\mathcal{F_{t_i}}]\,\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\,f(t_i)\cdot\mathbb{E}[(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})\mid\mathcal{F_{t_i}}]\,\right] \\ &= \mathbb{E}\left[\,f(t_i)\cdot0\,\right] ~~~(独立增量性)\\ &= 0 \end{aligned}$$

因此去掉随机项：

$$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbb{E}[f(X_t)]=\mathbb{E}[\mu(X_t) f'(X_t) + \frac{1}{2}\sigma(X_t)^2 f''(X_t)] \\ &\Longleftrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int f(x) \rho(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x = \int [\mu(x) f'(x) + \frac{1}{2}\sigma(x)^2 f''(x)] \rho(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x \\ &\Longleftrightarrow \int f(x) \frac{\partial}{\partial t}\rho(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x = \int [\mu(x) f'(x) + \frac{1}{2}\sigma(x)^2 f''(x)] \rho(x,t)\,\mathop{}\!\mathrm{d}x \\ &\xLeftrightarrow{(f,g):=\int f(x) g(x) dx} \left(\frac{\partial}{\partial t}\rho(\cdot,t),f\right) = \left(\mu\rho(\cdot,t),f'\right)+\left(\frac{1}{2}\sigma(\cdot)^2\rho(\cdot,t),f''\right)\\ &\xLeftrightarrow{由于紧支集} \left(\frac{\partial}{\partial t}\rho(\cdot,t),f\right) = \left(-\frac{\partial}{\partial x}[\mu\rho(\cdot,t)],f\right)+\left(\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[\sigma(\cdot)^2\rho(\cdot,t)],f\right) \\ &\xLeftrightarrow{由于f是任意函数} \frac{\partial}{\partial t}\rho(x,t) = -\frac{\partial}{\partial x}[\mu(x)\rho(x,t)]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[\sigma(x)^2\rho(x,t)] \end{aligned}$$

4.2. 概率流 (Probability Current)

FPE 本质上是一个 连续性方程 (Continuity Equation)，体现了概率守恒（粒子不会凭空消失）。可以将方程改写为：

$$\frac{\partial p}{\partial t} + \frac{\partial J}{\partial x} = 0$$

其中 $J(x,t)$ 是概率流密度：

$$J(x,t) = \mu(x,t)p(x,t) - \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\sigma^2(x,t)}{2} p(x,t) \right)$$

直觉： 总通量 = 随波逐流带来的通量 ( $\mu p$ ) + 浓度梯度导致的扩散通量 (菲克定律项)。

4.3. 稳态解与玻尔兹曼分布

当时间 $t \to \infty$ ，系统达到热平衡（稳态），分布不再变化，即 $\frac{\partial p}{\partial t} = 0$ 。这意味着概率流 $J$ 为常数。对于封闭系统（两端无穷远概率为0）， $J=0$ 。

当 $\gamma$ 很大（或质量 $m \to 0$ ）时，惯性项 $m\dot{v}$ 被忽略，可以得到过阻尼朗之万方程（忽略惯性项 $m\ddot{x}$ ，近似为 $0 = -\gamma \dot{x} - U'(x) + \xi$ ），做一个简单的变量替换（同第二大节作比较），就可以得到玻尔兹曼分布：

$$p(x)=\mathcal{N}e^{-\frac{U(x)}{k_{\mathrm{B}}T}}$$

对于完整的朗之万方程，

$$\begin{cases} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v \\ m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -\gamma v - U'(x) + \xi(t) \end{cases}$$

可以推出麦克斯韦-玻尔兹曼分布 (Maxwell-Boltzmann Distribution)：

$$p_{eq}(x, v) = \mathcal{Z}^{-1} \exp\left( -\frac{E(x,v)}{k_B T} \right) = \mathcal{Z}^{-1} \underbrace{\exp\left( -\frac{mv^2}{2k_B T} \right)}_{\text{麦克斯韦速度分布}} \cdot \underbrace{\exp\left( -\frac{U(x)}{k_B T} \right)}_{\text{玻尔兹曼位置分布}}$$

推导如下：

4.3.1. 构建二维相空间动力学 (Langevin Equation)

对于一个完整的（包含惯性）粒子，状态由位置 $x$ 和速度 $v$ 共同决定。朗之万方程写作一个一阶微分方程组：

$$\begin{cases} \mathrm{d}x = v \,\mathrm{d}t \\ m\mathrm{d}v = \underbrace{[-\gamma v - U'(x)]}_{\text{确定性力}} \mathrm{d}t + \underbrace{\sqrt{2\gamma k_B T}}_{\text{噪声强度 } \sigma_0} \mathrm{d}W_t \end{cases}$$

为了套用通用的 SDE 形式 $\mathrm{d}\mathbf{X} = \boldsymbol{\mu} \mathrm{d}t + \boldsymbol{\sigma} \mathrm{d}\mathbf{W}$ ，我们定义状态向量 $\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix}$ 。方程组改写为：

$$\mathrm{d} \begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix} = \underbrace{\begin{bmatrix} v \\ -\frac{\gamma}{m} v - \frac{1}{m}U'(x) \end{bmatrix}}_{\text{漂移向量 } \boldsymbol{\mu}} \mathrm{d}t + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{2\gamma k_B T}}{m} \end{bmatrix}}_{\text{扩散向量 } \boldsymbol{\sigma}} \mathrm{d}W_t$$

注意：位置 $x$ 的演化是完全确定的（ $\mathrm{d}x = v \mathrm{d}t$ ），没有直接受到噪声冲击，所以扩散向量的第一项是 0。速度 $v$ 受到噪声冲击，系数除以了质量 $m$ 。

4.3.2. 多维福克-普朗克方程 (Multidimensional FPE)

对于多维 SDE $\mathrm{d}X_i = \mu_i \mathrm{d}t + \sum_j \sigma_{ij} \mathrm{d}W_j$ ，其对应的 FPE 为：

$$\frac{\partial p}{\partial t} = -\sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} (\mu_i p) + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} (D_{ij} p)$$

其中扩散张量 $D_{ij} = (\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{\sigma}^T)_{ij}$ 。在本例中，扩散张量 $\mathbf{D}$ 为：

$$\mathbf{D} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{\sqrt{2\gamma k_B T}}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2\gamma k_B T}}{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{2\gamma k_B T}{m^2} \end{bmatrix}$$

可以看到，只有 $v-v$ 分量有扩散项。

4.3.3. Klein-Kramers 方程 (Klein-Kramers Equation)

将 $\boldsymbol{\mu}$ 和 $\mathbf{D}$ 代入 FPE 公式，我们得到描述概率密度 $p(x, v, t)$ 演化的方程：

$$\frac{\partial p}{\partial t} = \underbrace{-\frac{\partial}{\partial x}(v p) + \frac{1}{m}\frac{\partial}{\partial v}(U'(x) p)}_{\text{哈密顿/可逆部分}} + \underbrace{\frac{\gamma}{m}\frac{\partial}{\partial v}(v p) + \frac{\gamma k_B T}{m^2}\frac{\partial^2 p}{\partial v^2}}_{\text{耗散+涨落/不可逆部分}}$$

这个方程就叫 Klein-Kramers 方程。物理意义非常清晰，它被拆分成了两部分：

• 前两项（无 $\gamma$ ）：对应经典的哈密顿力学演化（Liouville Equation）。如果你令 $\gamma=0$ （无摩擦无噪声），概率流就像不可压缩流体一样在相空间流动，熵不变。
• 后两项（含 $\gamma$ ）：对应耗散和布朗运动。正是这两项负责把系统带向热平衡。

4.3.4. 验证稳态解 (Stationary Solution)

我们想证明当 $t \to \infty$ 时， $\frac{\partial p}{\partial t} = 0$ 的解就是 麦克斯韦-玻尔兹曼分布：

$$p_{eq}(x, v) = \mathcal{Z}^{-1} \exp\left[ -\frac{1}{k_B T} \left( \frac{1}{2}mv^2 + U(x) \right) \right]$$

为了方便求导，记总能量 $H(x,v) = \frac{1}{2}mv^2 + U(x)$ ，则 $p_{eq} \propto e^{-\beta H}$ （其中 $\beta = \frac{1}{k_B T}$ ）。利用链式法则，我们有：

• $\frac{\partial p_{eq}}{\partial x} = -\beta \frac{\partial H}{\partial x} p_{eq} = -\beta U'(x) p_{eq}$
• $\frac{\partial p_{eq}}{\partial v} = -\beta \frac{\partial H}{\partial v} p_{eq} = -\beta (mv) p_{eq}$

我们将这些代入 Klein-Kramers 方程的右边，看是否每一部分都消掉了。

第一部分：哈密顿项（可逆流）

$$\begin{aligned} & -v \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{U'(x)}{m} \frac{\partial p}{\partial v} \\ =~& -v \left[ -\beta U'(x) p \right] + \frac{U'(x)}{m} \left[ -\beta mv p \right] \\ =~& \beta v U'(x) p - \beta v U'(x) p \\ =~& 0 \end{aligned}$$

这验证了经典的哈密顿动力学本身就能维持能量守恒分布（Liouville 定理）。位置导致的漂移和速度导致的漂移完美抵消。

第二部分：Langevin 项（耗散+扩散）

这部分形式上看起来就是关于速度 $v$ 的一个一维 FPE。我们把它提取出来：

$$\mathcal{L}_{diss} p = \frac{\gamma}{m} \left[ \frac{\partial}{\partial v}(v p) + \frac{k_B T}{m} \frac{\partial^2 p}{\partial v^2} \right]$$

这看起来很像前面推导过的过阻尼 FPE。我们把 $\frac{\partial}{\partial v}$ 提出来：

$$\mathcal{L}_{diss} p = \frac{\gamma}{m} \frac{\partial}{\partial v} \left[ v p + \frac{k_B T}{m} \frac{\partial p}{\partial v} \right]$$

把 $p_{eq}$ 的导数 $\frac{\partial p_{eq}}{\partial v} = -\frac{mv}{k_B T} p_{eq}$ 代入中括号内：

$$\begin{aligned} [\dots] &= v p_{eq} + \frac{k_B T}{m} \left( -\frac{m v}{k_B T} p_{eq} \right) \\ &= v p_{eq} - v p_{eq} \\ &= 0 \end{aligned}$$

括号内为 0，这说明在稳态下，速度空间中的概率流（Probability Current in v-space）消失了。结论既然哈密顿部分之和为 0，耗散扩散部分之和也为 0，那么：

$$\frac{\partial p_{eq}}{\partial t} = 0$$

证毕。

这解释了为什么最终分布可以写成 $P(x) \times P(v)$ 的形式：因为耗散项只作用在 $v$ 上，它驱使速度分布趋向于高斯分布（麦克斯韦分布）；而哈密顿项负责混合 $x$ 和 $v$ ，确保 $x$ 分布也要符合由温度 $T$ 决定的玻尔兹曼因子。