Apollonius diagram (or the Additively weighted Voronoi diagram) 其距离函数定义为点到球表面的最短距离（可以是负值，若点在球内）：

delaunay三角剖分 是一种根据点集获得满足一定良好性质的三角剖分方式，等价于 上举映射(lifting map) 后，其 下凸壳（Lower Convex Hull） 在原平面的投影。如果点集中不存在四点共圆的情况（退化情况），Delaunay 三角剖分是唯一的。

抽象单纯形 $\sigma \subset V$ ，是有限点集，其维度定义为 $\mathrm{dim}\,\sigma =|\sigma |-1$ 。（这里的 $|\cdot|$ 和下面的不表示同一个意思）

几何单纯形 $|\sigma|$ 是抽象单纯形的实现，是仿射无关的一组顶点的凸包：

凸包定义为：

单纯性复形 $K$ 为抽象单纯形的集合，要求 $\forall\sigma\in K,\forall \tau\subset\sigma \implies \tau\in K$ ，比如

$\{$ $\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}$ $\}$ 。

单纯形复形的实现 $|K|$ ，就是把 $K$ 中的单纯形实现了。

给定点集 $P\subset \mathbb{R}^d$ ,

Delaunay complex $D(P)$ ，是指按Delaunay三角剖分得到的实现对应的抽象单纯形集合。

Alpha complex $A_\alpha(P)$ ，是由α-空球条件选出的 $D(P)$ 的子复形，带有自然的几何实现 Alpha Shape $S_\alpha(P) = |A_\alpha(P)|$ 。

$\mathbb{R}^d\backslash|A_\alpha|$ 分成： 一个 无界连通分支 → 外部；若干 有界连通分支 → 内部空腔（voids）。在一点紧致化下无限连通分支连通到 $\infty$ 点。在同胚意义下， $D(P\cup\{\infty\})\backslash A_\alpha(P) \cong (外部)\cup(所有空腔)$ （因此在工程实现中，可以在包围盒上取一点作为无穷远点）。

Alpha shape $S_\alpha(P)$ 同胚于球并集 $U_\alpha =\bigcup_i B(p_i, \alpha)$

半径不同的球 → Weighted Alpha Complex / Power Diagram。构造方式：空球条件改为加权空球条件，Delaunay → Power complex

三球交点实际上是在求幂轴在任意球上的交点，幂轴用一个不定方程组 $Ax=b$ 表示(球方程两两相减)，而幂点是该轴上距离球心最近的点，因此以某一球心为参考点 $O$ ，用拉格朗日乘子法（ $\mathcal{L}=|OX|^2+\lambda^T(Ax-b)$ ）得到以下方程，求解就可以直接得到幂点 $x$ ，知道幂点求交点就显然了：

$S$ 矩阵本质上是库伦相互作用算子的离散化，其中

$S$ 矩阵的正定性等价于“静电系统的能量必须为正”这一物理事实。

可以从物理直觉和数学推导两个层面来证明。

1. 概述

生成模型：

• 对象建模为向量 $x∈\mathbb{R}^d$
• 生成即采样 $p_{\mathrm{data}}(x)$
• 数据集 $z_1,z_2,...,z_n~\sim~p_{\mathrm{data}}$
• 条件生成 $p_{\mathrm{data}}(\cdot|y)$

目标：
从易于采样的 $p_{\mathrm{init}}$ (通常 $\sim \mathcal{N}(0,I_d)$ )出发，通过模型转化为 $p_{\mathrm{data}}$ 。

在生成模型中，如果我们只利用梯度信息 $\nabla \log p(x)$ ，就像是在绝对零度（ $T=0$ ）下寻找能量最低点，最终只能得到单一的“极值”；而真实的生成过程（采样）应当像常温（ $T>0$ ）下的气体分子，既受势能引导，又保持热运动。

总结了布朗运动的三种描述视角及其内在联系：

• 物理视角：通过朗之万方程描述受力与涨落，利用涨落耗散定理连接微观动力学与热力学平衡。
• 数学视角：随机微分方程 (SDE) 理论，利用伊藤引理处理维纳过程的不可微性。
• 统计视角：从拉格朗日观点的粒子运动推导出欧拉观点的概率演化，即福克-普朗克方程 (FPE)。

1. 简介

变分自编码器 (Variational Autoencoder, VAE) 是一种生成模型 (Generative Model)，由 Kingma 和 Welling 于 2013 年提出。它巧妙地结合了深度学习（神经网络的拟合能力）和贝叶斯推断（概率统计理论）。

为什么我们需要 VAE？

普通的自编码器 (AE) 虽然能很好地进行数据压缩和特征提取，但在生成新数据方面存在缺陷：

• AE 的局限性：AE 将输入映射为隐空间中一个固定的点（确定性映射）。其隐空间往往是不连续的（过拟合），这意味着如果你在隐空间中随机取一个点进行解码，生成的图像很可能是毫无意义的噪声。
• VAE 的改进：VAE 将输入映射为隐空间中的一个概率分布（通常是高斯分布，概率性映射）。

核心思想

VAE 不再让编码器输出一个具体的向量 $z$ ，而是输出该向量服从的分布参数（均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ ）。

这种做法带来了两个核心优势：

• 连续性 (Continuity)：隐空间中相近的点解码出的结果也是相近的。
• 完备性 (Completeness)：隐空间中的点都能解码出有意义的结果（通过 KL 散度约束实现）。

这使得 VAE 具备了生成能力：我们可以直接从标准正态分布 $\mathcal{N}(0,1)$ 中采样 $z$ ，然后通过解码器生成全新的样本。